Kumulierte Verteilungsfunktion

Das Wichtigste auf einen Blick

• Die KVF gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable einen Wert ≤ x annimmt.
• Sie ist monoton wachsend und liegt stets zwischen 0 und 1.
• Für diskrete Zufallsvariablen entspricht die KVF der Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu einem Wert.
• Für stetige Zufallsvariablen ist die KVF das Integral der Dichtefunktion bis zu diesem Wert.
• Die KVF ermöglicht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Intervalle und Quantile.
• Sie ist ein wichtiges Werkzeug in der Statistik, z. B. bei Hypothesentests und der Verteilungsschätzung.

Überblick: Kumulierte Verteilungsfunktion

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die kumulierte Verteilungsfunktion (KVF) ein fundamentales Werkzeug zur Beschreibung von Zufallsvariablen. Sie fasst die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse zusammen, bei denen die Zufallsvariable Werte bis zu einem bestimmten Punkt annimmt. Die KVF ist sowohl für diskrete als auch für stetige Zufallsvariablen definiert und bildet die Grundlage für viele statistische Analysen und Methoden.

Definition der kumulierten Verteilungsfunktion

Die kumulierte Verteilungsfunktion F einer Zufallsvariablen X ist definiert als F(x) = P(X ≤ x). Sie gibt für jeden reellen Wert x die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens den Wert x annimmt.

Eigenschaften der kumulierten Verteilungsfunktion

Die KVF ist eine monoton nicht fallende Funktion mit folgenden Eigenschaften: Sie ist rechtsseitig stetig, hat Werte zwischen 0 und 1, und limitiert gegen 0 für x → -∞ sowie gegen 1 für x → +∞.

KVF bei diskreten Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariablen ist die KVF eine Treppenfunktion, die an den möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen um die jeweilige Wahrscheinlichkeitsmasse ansteigt.

KVF bei stetigen Zufallsvariablen

Bei stetigen Zufallsvariablen ist die KVF eine stetige Funktion, die als Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) bis zum Wert x definiert ist.

Beispiel einer kumulierten Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen

Anwendungen der kumulierten Verteilungsfunktion

Die KVF wird verwendet zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Intervalle, zur Bestimmung von Quantilen, in Hypothesentests, sowie in der statistischen Inferenz und Simulation.

Zusammenhang zwischen KVF und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Bei stetigen Zufallsvariablen ist die KVF das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF). Die PDF kann durch Differenzieren der KVF gewonnen werden, sofern die Funktion differenzierbar ist.

Interpretation und grafische Darstellung

Die KVF kann als Kurve dargestellt werden, die von 0 bis 1 ansteigt. Sie zeigt anschaulich, wie die Wahrscheinlichkeiten sich über die Werte der Zufallsvariablen verteilen.

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